Phần 1. Mệnh đề và Vị từ

Phần 2. Phép đếm

Câu 1

Một chuỗi chữ số gồm 6 ký tự: 2 chữ cái theo sau là 4 chữ số. Có bao nhiêu cách viết chuỗi khác nhau nếu:

a. Chữ cái và chữ số không lặp lại?

• Số cách chọn và sắp xếp 2 chữ cái (không lặp lại):
  $A_2^{26} = 26 \times 25 = 650$

• Số cách chọn và sắp xếp 4 chữ số (không lặp lại):
  $A_4^{10} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$

👉 Tổng số chuỗi có thể tạo ra là:

$$A_2^{26} \times A_4^{10} \times = 650 \times 5040 = 3,\!276,\!000$$

b. Chữ cái và chữ số có thể lặp lại?

• Vị trí 1 và 2 trong chuỗi: mỗi chỗ có 26 cách chọn
• Vị trí 3, 4, 5 và 6: mỗi chỗ có 10 cách chọn

Suy ra số cách chọn là:

$$26^2 \times 10^4 = 676 \times 10,\!000 = 6,\!760,\!000 \text{ cách}$$

---

c. Cho phép lặp lại, nhưng chữ cái chỉ gồm 5 nguyên âm ( A, E, I, O, U) và số

• Vị trí 1 và 2 trong chuỗi: mỗi chỗ có 5 cách chọn
• Vị trí 3, 4, 5 và 6: mỗi chỗ có 6 cách chọn

Suy ra số cách chọn là:

$$5^2 \times 6^4 = 25 \times 1296 = 32,\!400 \text{ cách}$$

Câu 2

Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài là 10 và có bit đầu tiên và bit cuối là 1?

---

Giải:

• Ta có vị trí đầu và cuối: mỗi vị trí có 1 cách chọn (đều là bit 1)
• Còn lại 8 vị trí ở giữa: mỗi vị trí có 2 cách chọn (0 hoặc 1)

$$\text{Suy ra số xâu là: } 1 \times 2^8 = 256 \text{ xâu}$$

Câu 3

Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 10 hoặc bắt đầu bằng 3 bit 0 hoặc kết thúc bằng 2 bit 0?

---

Giải:

• $A$: Tập hợp các xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bằng 3 bit 0 (000xxxxxxx)
• $B$: Tập hợp các xâu nhị phân độ dài 10 kết thúc bằng 2 bit 0 (xxxxxxxx00)

Ký hiệu:

• $A \cup B$: Tập hợp các xâu thuộc A hoặc B hoặc cả hai (giao hợp logic "hoặc")
• $A \cap B$: Tập hợp các xâu thuộc cả A và B (giao nhau logic "và")

---

Tính số lượng phần tử của từng tập:

• Tổng số xâu nhị phân độ dài 10:

  $$2^{10} = 1024$$

• Số xâu bắt đầu bằng 000:
  (Cố định 3 bit đầu, còn 7 bit tự do)

  $$|A| = 2^7 = 128$$

• Số xâu kết thúc bằng 00:
  (Cố định 2 bit cuối, còn 8 bit tự do)

  $$|B| = 2^8 = 256$$

• Số xâu vừa bắt đầu bằng 000 và kết thúc bằng 00:
  (Cố định 5 bit, còn 5 bit ở giữa)

  $$|A \cap B| = 2^5 = 32$$

---

Áp dụng công thức cộng loại trừ:

Công thức:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Thay số vào:

$$|A \cup B| = 2^7 + 2^8 - 2^5 = 128 + 256 - 32 = 352$$

---

---

Câu 4

Cho biết có thể nhận bao nhiêu xâu ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS.

---

Giải:

• Ta có:

  • 3 ký tự S
  • 2 ký tự C
  • 1 ký tự U
  • 1 ký tự E

• Suy ra số cách sắp xếp là:

$$\frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{5040}{12} = 420 \text{ cách}$$

---

Câu 5:

Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau cho các chữ cái trong từ VISITTING?

---

Giải:

• Ta có:

  • 3 ký tự I
  • 2 ký tự T
  • 1 ký tự V
  • 1 ký tự S
  • 1 ký tự N
  • 1 ký tự G

• Suy ra số cách sắp xếp là:

$$\frac{9!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{362880}{12} = 30240 \text{ cách}$$

---

Câu phụ:

Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 3 chữ I luôn đặt cạnh nhau?

---

• Ta coi 3 chữ I là 1 khối (gọi là "super I") => [III]
• Khi đó, còn lại:
  • 2 ký tự T
  • 1 ký tự V
  • 1 ký tự S
  • 1 ký tự N
  • 1 ký tự G
  • 1 khối I

→ Tổng cộng có 7 phần tử để sắp xếp

• Suy ra số cách sắp xếp là:

$$\frac{7!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{2} = 2520 \text{ cách}$$

Câu 6

Tương tự bài tập trên với từ MASSASAUGA và ký tự A.

---

Giải:

• Ta coi 4 ký tự A là một khối (1 chủ thể)
• Khi đó còn lại:
  • 3 ký tự S
  • 1 ký tự M
  • 1 ký tự U
  • 1 ký tự G
  • 1 khối A

→ Tổng cộng có 7 phần tử để sắp xếp

• Suy ra số cách sắp xếp là:

$$\frac{7!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5040}{6} = 840 \text{ cách}$$

Chương 3: Suy luận Logic

Câu 3

Giả thiết:

1. Nếu trời không mưa hoặc không có sương mù, thì cuộc đua thuyền sẽ được tổ chức và trình diễn cứu hộ cũng sẽ tiến hành
2. Nếu cuộc đua thuyền được tổ chức thì giải thưởng sẽ được trao
3. Giải thưởng đã không được trao

Dùng các quy tắc suy luận để chứng minh kết luận: "Trời mưa"

---

Ký hiệu:

Mệnh đề	Ký hiệu
Trời mưa	( P )
Có sương mù	( Q )
Cuộc đua thuyền được tổ chức	( R )
Trình diễn cứu hộ được tiến hành	( S )
Giải thưởng được trao	( T )

---

Giả thiết:

1. Nếu trời không mưa hoặc không có sương mù thì cuộc đua thuyền sẽ được tổ chức và cuộc trình diễn cứu hộ cũng sẽ tiến hành:

$$(\neg p \lor \neg q) \rightarrow (r \land s)$$

2. Nếu cuộc đua thuyền được tổ chức thì giải thưởng sẽ được trao:

$$r \rightarrow t$$

3. Giải thưởng đã không được trao:

$$\neg t$$

---

Chứng minh:

• Từ (2) và (3): dùng Modus Tollens (phủ định):

$$r \rightarrow t,\quad \neg t \Rightarrow \neg r$$

• Thay vào (1):

  $$(\neg p \lor \neg q) \Rightarrow (r \land s)$$

  Vì $r \land s$ là sai (do $\neg r$), nên suy ra:

  $$\neg (\neg p \lor \neg q)$$

• Dùng Định luật De Morgan:

  $$\neg p \lor \neg q \Rightarrow r \land s$$

  $\Rightarrow \neg(\neg p \lor \neg q) \equiv p \land q$

  ⇒ Suy ra: $p$
  ⇒ Vậy trời có mưa

---